PRACTICE PROBLEMS USING DE MOIVRES THEOREM

Question :

If 2 cos α  =  x + (1/x) and 2 cos β  =  y + (1/y), show that 

(i)  (x/y) + (y/x)  =  2 cos (α - β)

(ii)   xy - (1/xy)  =  2i sin (α + β)

(iii)  (x^m/yⁿ) -  (yⁿ/x^m)  =  2i sin (mα - nβ)

(iv)  (x^myⁿ) +  1/(x^myⁿ)   =  2 cos (mα + nβ)

Solution :

2 cos α  =  x + (1/x) 

x² + 1  =  (2 cos α) x

x² - (2 cos α) x + 1  =  0

Solving for x, we get

  =  [-b + √(b² - 4ac)] / 2a

  =  [(2 cos α) + √((2 cos α)² - 4(1)] / 2(1)

  =  [(2 cos α) + √-4 (1 - cos²α) / 2

  =  (2 cos α + i 2 sin α) / 2

x  =  cos α + i sin α

2 cos β  =  y + (1/y)

y² + 1  =  (2 cos β) y

y² - (2 cos β) y + 1  =  0

Solving for y, we get

  =  [-b + √(b² - 4ac)] / 2a

  =  [(2 cos β) + √((2 cos β)² - 4(1)] / 2(1)

  =  [(2 cos β) + √-4 (1 - cos²β) / 2

  =  (2 cos β + i 2 sin β) / 2

y  =  cos β + i sin β

(i)  (x/y) + (y/x)  =  2 cos (α - β)

xy^-1  =  (cos α + i sin α)(cos (-β) + i sin (-β))

(x/y)  =  cos (α - β) + i sin (α - β)  

(y/x)  =  cos (α - β) - i sin (α - β)

By adding, we get 

 (x/y) + (y/x)   =  2 cos (α - β)

(ii)   xy - (1/xy)  =  2i sin (α + β)

xy  =  (cos α + i sin α)(cos β + i sin β)

  =  cos (α + β) + i sin (α + β)  

1/xy  =  =  cos (α + β) - i sin (α + β)  

xy - (1/xy) 

  =  [cos (α + β) + i sin (α + β)] - [cos (α + β) - i sin (α + β)]

  =  -2i sin (α + β)

(iii)  (x^m/yⁿ) -  (yⁿ/x^m)  =  2i sin (mα - nβ)

x  =  cos α + i sin α

x^m  =  (cos α + i sin α)^m

x^m  =  (cos mα + i sin mα)

y  =  cos β + i sin β

yⁿ  =  (cos β + i sin β)ⁿ

yⁿ  =  (cos nβ + i sin nβ)

(x^m/yⁿ)  =  cos (mα - nβ) + i sin (mα - nβ)

(yⁿ/x^m)  =  cos (mα - nβ) - i sin (mα - nβ)

(x^m/yⁿ) -  (yⁿ/x^m)   =  -2i sin (mα - nβ)

(iv)  (x^myⁿ) +  1/(x^myⁿ)   =  2 cos (mα + nβ)

x^m  =  (cos mα + i sin mα)

yⁿ  =  (cos nβ + i sin nβ)

x^myⁿ  =  cos (mα + nβ) + i sin (mα + nβ) 

1/(x^myⁿ)  =  cos (mα + nβ) - i sin (mα + nβ) 

 (x^myⁿ) +  1/(x^myⁿ)  =  2cos (mα + nβ)

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