Question 1 :
If z1 = 1 - 3i, z2 = -4i and z3 = 5 show that
(i) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
Solution :
L.H.S :
z1 + z2 = 1 - 3i - 4i = 1 - 7i
(z1 + z2) + z3 = (1 - 7i) + 5
= (1 + 5) - 7i
= 6 - 7i ---(1)
R.H.S :
z2 + z3 = - 4i + 5
z1 + (z2 + z3) = (1 - 3i) + (-4i + 5)
= (1 + 5) + i(-3 - 4)
= 6 - 7i ---(2)
(1) = (2)
(ii) (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)
Solution :
L.H.S :
z1 z2 = (1 - 3i)(-4i)
= -4i + 12i2
= -4i + 12(-1)
= -4i - 12
= -4i + 12(-1)
z1 z2 = -4i - 12
(z1 z2) z3 = (-4i - 12) (5) = -20i - 60 ----(1)
R.H.S :
z2 z3 = -4i (5) = -20i
z1 (z2 z3) = (1 - 3i)(-20i)
= -20i + 60i2
= -20i + 60(-1)
= -20i - 60 -----(2)
(1) = (2)
Hence proved.
Question 2 :
If z1 = 3, z2 = -7i and z3 = 5 + 4i
(i) z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
Solution :
L.H.S :
z2 + z3 = -7i + (5 + 4i)
= -7i + 5 + 4i
z2 + z3 = -3i + 5
z1 (z2 + z3) = 3 (-3i + 5)
z1 (z2 + z3) = 15 - 9i -----(1)
R.H.S :
z1 z2 = 3(-7i) = -21i
z1 z3 = 3(5 + 4i) = 15 + 12i
z1 z2 + z1 z3 = -21i + 15 + 12i
= -9i + 15
= 15 - 9i ------(2)
(1) = (2)
(ii) (z1 + z2)z3 = z1 z3 + z2 z3
Solution :
L.H.S :
z1 + z2 = 3 - 7i
(z1 + z2)z3 = (3 - 7i) (5 + 4i)
= 15 + 12i - 35i - 28i2
= 15 - 23i - 28(-1)
= 15 - 23i + 28
(z1 + z2)z3 = 43 - 23i ----(1)
z1 z3 = 3(5 + 4i) = 15 + 12i
z2 z3 = (-7i) (5 + 4i)
= -35i - 28i2
z2 z3 = -35i - 28(-1)
= -35i + 28
z1 z3 + z2 z3 = 15 + 12i - 35i + 28
= 43 - 23i ---(2)
(1) = (2)
Hence proved.
Question 3 :
If z1 = 2 + 5i, z2 = -3 - 4i and z3 = 1 + i , find the additive and multiplicative inverse of z1, z2 and z3.
Solution :
z1 = 2 + 5i
Additive inverse of (z1) :
z1 = 2 + 5i
Additive inverse = -2-5i
Multiplicative inverse of (z1) :
z1 = 2 + 5i
1/z1 = 1/(2 + 5i)
= (1/(2 + 5i))((2 - 5i)/(2 - 5i))
= (2 - 5i)/(4 - 25(-1))
= (2 - 5i)/29
Hence multiplicative inverse of 2 + 5i is (2 - 5i)/29.
z2 = -3 - 4i
Additive inverse of (z1) :
z2 = -3 - 4i
Additive inverse = 3+4i
Multiplicative inverse of (z1) :
z2 = -3-4i
1/z2 = -1/(3 + 4i)
= (-1/(3 + 4i))((3 - 4i)/(3 - 4i))
= -(3 - 4i)/(9 - 16(-1))
= -(3 - 4i)/(9 + 16)
= -(3 - 4i)/25
Hence multiplicative inverse of -3-4i is -(3 - 4i)/25.
z3 = 1 + i
Additive inverse of (z3) :
z3 = 1 + i
Additive inverse = -1 - i
Multiplicative inverse of (z3) :
z3 = -1 - i
1/z2 = -1/(1 + i)
= (-1/(1 + i))((1 - i)/(1 - i))
= (-1 + i)/(1 - (-1))
= (-1 + i)/2
Hence multiplicative inverse of 1 + i is (-1 + i)/2
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