PROVING TRIGONOMETRIC PROBLEMS WORKSHEET WITH ANSWERS

Question 1 :

Show that :

cos²A + cos²B - 2cosAcosBcos(A + B)  =  sin²(A + B)

Question 2 :

If cos(α − β) + cos(β − γ) + cos(γ − α) = −3/2, then prove that 

cos α + cos β + cos γ = sinα + sinβ + sinγ  =  0

Detailed Answer Key

Question 1 :

Show that :

cos²A + cos²B - 2cosAcosBcos(A + B)  =  sin²(A + B)

Answer :

cos²A + cos²B - 2cosAcosBcos(A + B) :

=  cos²A + cos²B - 2cosAcosB[cosAcosB - sinAsinB]

=  cos²A + cos²B - 2cos²Acos²B + 2cosAcosBsinAsinB

=  cos²A - cos²Acos²B + cos²B - cos²Acos²B + 2cosAcosBsinA sin B

Factor out cos²A from the 1^st and 2^nd terms and factor out cos²B from the 3^rd and 4^th terms.

=  cos²A(1 - cos²B) + cos²B(1 - cos²A) + 2cosAcosBsinAsinB

=  cos²A(sin²B) + cos²B(sin²A) + 2cosA cosBsinAsinB

=  (cosAsinB)² + (cosBsinA)² + 2cosAcosBsinAsin B

=  (cosAsinB + cosBsinA)² 

=  [sin (A + B)]²

=  sin²(A + B)

Question 2 :

If cos(α − β) + cos(β − γ) + cos(γ − α) = −3/2, then prove that 

cos α + cos β + cos γ = sinα + sinβ + sinγ  =  0

Answer :

cos(α − β)  =  cos α cos β - sin α sin β   ----(1) 

cos(β − γ)  =  cos β cos γ - sin β sin γ   ----(2) 

cos(γ − α)  =  cos γ cos α - sin γ sin α    ----(3) 

(1) + (2) + (3) :  

cos(α − β) + cos(β − γ) + cos(γ − α) 

  =  cos α cos β + sin α sin β + cos β cos γ + sin β sin γ + cos γ cos α + sin γ sin α 

So,

cos α cos β + sin α sin β + cos β cos γ + sin β sin γ + cos γ cos α + sin γ sin α   =  -3/2

2[cos α cos β + sin α sin β + cos β cos γ + sin β sin γ + cos γ cos α + sin γ sin α] + 3  =  0

2cos α cos β + 2sin α sin β + 2cos β cos γ + 2sin β sin γ + 2cos γ cos α + 2sin γ sin α] + 3  =  0

2cos α cos β + 2sin α sin β + 2cos β cos γ + 2sin β sin γ + 2cos γ cos α + 2sin γ sin α] + (cos²α + sin²α) + (cos²β + sin²β) + (cos²γ + sin²γ)  =  0

cos²α + cos²β + cos²γ + 2cos α cos β + 2cos β cos γ + 2cos γ cos α + sin²α + sin²β + sin²γ + 2sin α sin β + 2sin β sin γ + 2sin γ sin α  =  0

(cosα + cosβ + cosγ)² + (sinα + sinβ + sinγ)²  =  0

cosα + cosβ + cosγ  =  0

sinα + sinβ + sinγ  =  0

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