TRIGONOMETRIC IDENTITIES PROBLEMS WITH SOLUTIONS

Problem 1 :

If (cos α/cos β) = m and (cos α/ sin β) = n then prove that

(m² + n²)cos²β  =  n²

Solution :

m  =  (cos α/cos β)

Square both sides

m²  =  (cos α/cos β)²

m²  =  (cos²α/cos²β) -----(1)

n  =  (cos α/ sin β)

Square both sides.

n²  =  (cos α/sin β)²

n²  =  (cos²α/sin²β) -----(2)

(1) + (2) :

m² + n²  =  (cos²α/sin²β) + (cos²α/cos²β)

m² + n²  =  (cos²αcos²β + cos²αsin²β) / sin²βcos²β

m² + n²  =  cos²α(cos²β + sin²β) / sin²βcos²β

m² + n²  =  cos²α(1) / sin²βcos²β

m² + n²   =  cos²α / sin²βcos²β

(m² + n²)cos² β  =  (cos²α / sin²βcos²β)cos²β

(m² + n²)cos² β  =  cos²α / sin²β

(m² + n²)cos² β  =  (cosα/sinβ)²

(m² + n²)cos² β  =  n²

Problem 2 :

If cotθ + tan θ = x and secθ - cosθ = y, then prove that

(x²y)^2/3 - (xy²)^2/3  =  1

Solution :

Finding x² :

x  =  cotθ + tanθ

x  =  (cosθ/sinθ) + (sinθ/cosθ)

x  =  (cos²θ + sin²θ)/sinθcosθ

x  =  1/sinθcosθ

x²  =  1/sin²θcos²θ

Finding y² :

y  =  secθ  - cosθ

y  =  (1/cosθ) - cosθ

y  =  (1 - cos²θ)/cosθ

y  =  sin²θ/cosθ

y²  =  sin⁴θ/cos²θ

Finding  (x²y)^2/3 :

x²y  =  (1/sin²θcos²θ)(sin²θ/cosθ)

x²y  =  (1/cos³θ)

(x²y)^2/3  =  [(1/cos³θ)]^2/3

(x²y)^2/3  =  1/cos²θ

(x²y)^2/3  =  sec²θ  -----(1)

Finding (xy²)^2/3 :

xy²  =  (1/sinθ cosθ)(sin⁴θ/cos²θ)

xy²  =  (sin³θ/cos³θ)

(xy²)^2/3  =  (sin²θ/cos²θ)

(xy²)^2/3  = tan²θ ---(2)

(1) - (2) :

(x²y)^2/3 - (x²y)^2/3  =  1

sec²θ - tan²θ  =  1

Problem 3 :

If sinθ + cosθ = p and secθ + cosecθ = q, then prove that

q(p² −1)  =  2p

Solution :

p  =  sinθ + cosθ

p²  =  (sinθ + cosθ)²

p²  =  sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

p²  =  1 + 2sinθcosθ

p² - 1  =  1 + 2sinθcosθ - 1

p² - 1  =  2sinθcosθ

q(p² −1)  =  (secθ + cosecθ)(2sinθcosθ)

q(p² −1)  =  (1/cosθ) + (1/sinθ)(2sinθcosθ)

q(p² −1)  =  [(2sinθcosθ)/cosθ] + [(2sinθcosθ)/sinθ]

q(p² −1)  =  2sinθ + 2cosθ

q(p² −1)  =  2(sinθ + cosθ)

q(p² −1)  =  2p

Problem 4 : 

If sinθ(1 + sin²θ)  =  cos²θ, then prove that

cos⁶θ - 4cos⁴θ + 8cos²θ  =  4

Solution :

sinθ(1 + sin²θ)  =  cos²θ

sinθ + sin³θ  =  1 - sin²θ

sinθ + sin²θ + sin³θ  =  1 

sinθ + sin³θ  =  1 - sin²θ 

Square both sides. 

(sinθ + sin³θ)²  =  (1 - sin²θ)² 

sin²θ + 2sin⁴θ + sin⁶θ  =  1 - 2sin²θ + sin⁴θ

sin²θ + 2sin²θ + 2sin⁴θ - sin⁴θ + sin⁶θ  =  1 

3sin²θ + sin⁴θ + sin⁶θ  =  1 

3(1 - cos²θ) + (1 - cos²θ)² + (1 - cos²θ)³  =  1 

3-3cos²θ+1+cos⁴θ-2cos²θ+1-3cos²θ+3cos⁴θ-cos⁶θ  =  1

4 - cos⁶θ + 4cos⁴θ - 8cos²θ  =  0

 cos⁶θ − 4cos⁴θ + 8cos²θ  =  4

Problem 5 :

If cosθ/(1 + sinθ) = 1/a, then prove that

(a² - 1)/(a² + 1)  =  sinθ

Solution :

cosθ / (1 + sinθ)  =  1/a

a  =  (1 + sin θ)/cosθ

Finding (a² - 1) :

a²  =  [(1 + sinθ)/cosθ]²

a²  =  [(1 + sinθ)² / cos²θ]

a²  =  (1 + sin²θ + 2sinθ)/cos²θ]

a² - 1  =  (1 + sin²θ + 2sin θ)/cos² θ] - 1

a² - 1  =  (1 + sin²θ + 2sinθ - cos²θ)/cos²θ

a² - 1  =  (2sin²θ + 2sinθ)/cos²θ

a² - 1  = 2sinθ(sinθ + 1)/cos²θ

a² - 1  = 2sinθ(sinθ + 1)/(1 - sin²θ)

a² - 1  =  2sinθ /(1 - sinθ) -----(1)

Finding (a² + 1) :

a² + 1  =  (1 + sin²θ + 2sin θ)/cos² θ] + 1

a² + 1  =  (1 + sin²θ + 2sin θ + cos² θ)/cos² θ

a² + 1  =  (1 + 1 + 2sin θ )/cos² θ

a² + 1  =  2(1 + sin θ )/(1-sin² θ)

a² + 1  =  2/(1-sin θ) -----(2)

(1)/(2) :

(a² - 1)/(a² + 1)  =  [2sinθ/(1 - sinθ)] / [2/(1 - sinθ)]

(a² - 1)/(a² + 1)  =  sinθ

Kindly mail your feedback to v4formath@gmail.com

We always appreciate your feedback.